SINOPSIS
Seis personas despiertan encerradas en un complejo laberinto formado
por habitaciones cúbicas. No recuerdan cómo llegaron allí, pero pronto
descubren que deberán resolver ciertos enigmas y sortear con habilidad
todas las trampas mortales repartidas por el laberinto si quieren
sobrevivir.
Hace algunos años atrás cuando
empezaba por esta extraña afición de ver películas y disfrutar de ellas
sin que nada ni nadie se interpusiera en ello, escribí algunas líneas
sobre este trabajo raro, surreal pero excepcional de Vincenzo Natali. En
ese entonces simplemente me deje llevar por lo que veía y lo que
escasamente había entendido, ya que a opinión personal considero que
este trabajo hay que ver más de una vez para llegar a una comprensión
más clara sobre lo que el director nos quiere mostrar.
¿Sorprendería que tenga que recurrir a las matemáticas para tener una
idea más clara sobre la película? Creo que no, ya que existen muchas
cintas que se apoyan en la “Reyna de todas las ciencias” (de esa forma
se refería el matemático Gauss sobre las matemáticas) y necesitamos un
poco de la teoría que de ella se desprende para tener una idea más clara
de algunas películas. Claro ejemplo Es “Pi” opera prima de Darren
Aronofsky para la cual tuve que recurrir a los planteamientos de
Fibonacci, leer un poco sobre la Teoría de Cuerdas y lo que planteaban
los pitagóricos.
.
Pero primero me centrare un poco en la
película en si para luego dar pie y con la ayuda de las matemáticas para
así tener una idea más clara de la película. “Cube” que fuera estrenada
en 1997 es el primer trabajo para el cine de Vincenzo Natali, trabajo
que fuera muy bien recibida por la crítica y el público de a pie. El
Festival de Sitges fue el escenario ideal para que “Cube” se alzara con
el premio a mejor guion y mejor película.
Desde su inicio la cinta
se nos muestra bizarra con una secuencia ultraviolenta, la cual estará
siempre en la retina de sus espectadores, ya que escenas como aquellas
no se olvidan tan fácilmente, todo lo que rodea a la película juega un
papel muy importante en la trama de la historia, y el mismísimo cubo
juega un papel importante, convirtiéndose en un personaje más.
PARTE MATEMÁTICA (DE PERMUTACIONES Y FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS)
La trama parece ser algo sencilla, un grupo de personas que previamente
han sido drogadas y raptadas son liberadas en un recinto de forma de
cubo las cuales se encuentran interconectadas. Algunas de estas
habitaciones poseen trampas mortales y otras no contienen nada y a la
par son muy seguras. Observamos que en la puerta se encuentran unas
extrañas secuencias de tres números de tres dígitos (entre 000 y 999), y
uno de los personajes, una matemática, descubre que las habitaciones en
las que uno de los números es primo, son las peligrosas. La chica les
va guiando de forma segura, estudiándo los números, hasta que descubren
que su hipótesis es errónea. En realidad, las trampas están en aquellas
habitaciones en las que uno de los números es la potencia de un primo,
es decir, números del tipo Xy, donde X es un número primo (obviamente,
eso incluye a los números primos, puesto que X1=X). En este momento, la
matemática se desespera, ya que dice que es imposible. Que los cálculos
son astronómicos, y que no puede hacerlo. Para suerte de todos, uno de
los personajes atrapados es un autista con síndrome del sabio que es
capaz de factorizar un número en un instante, y decir cuántos factores
primos distintos tiene. Esto es, con un número que sea potencia de un
primo, como 3, 9 (32) o 16 (24), el personaje diría «1»; mientras que el
con el 63 (32•7), por ejemplo, diría «2», pues tiene dos primos
distintos como factores (el 3 y el 7).
Los números son de 3 dígitos,
por lo que el mayor de todos sería 999. Te darás cuenta que factorizar
un número tan pequeño no lleva tanto tiempo. Presta atención en lo
siguiente: hay que detectar los números que son potencias de un número
primo, ya que son las habitaciones con trampas. Pero como la chica es
capaz de averiguar con rapidez si un número es primo o no (ya que lo
hizo durante gran parte de la peli), la dificultad añadida está en ver
si un número no primo, es potencia de un primo. Para eso es necesario
factorizarlo, por lo que debemos probar si es divisible por 2, por 3,
por 5, por 7, por 11, y así hasta completar todos los números primos
hasta 999 ¿verdad? Pues no es tanto asi, ya que ello nos tomaría mucho
tiempo. No es necesario ir tan lejos.
Ahora realicemos un pequeño
ejercicio mental ¿Cuál es el mayor número primo, menor que 1000? No hay
que ser un genio para obtener la respuesta ¿no? Es obvio que la
respuesta es 997. Es sólo una forma de mostraros algo. Ahora dirás, que
resulta fácil para mí hacer ese pequeño razonamiento, cuento con todo el
tiempo del mundo, me puedo apoyar en las calculadoras, etc. Pero
descuida, es solo para demostrar algo, fíjate que cualquier potencia de
997, con exponente mayor que 1, es necesariamente mayor que 1.000. No
creo que sea necesario calcular 9972 para demostrarlo. Así que podemos
descartar las potencias de dicho primo. Pero vayamos más allá. ¿Cuánto
es, por ejemplo, 1002 (no, 100 no es primo, ya lo sé)? Pues Fácil,
10.000. Obviamente, también podemos descartar todos los números primos
mayores que 100, pues cualquier potencia de un número mayor que 100, con
exponente mayor que 1, es mayor que 1.000 (y mayor que 10.000). Eso nos
deja con aún menos números primos. Vayamos todavía más allá. ¿Hasta qué
número debemos probar? Parece evidente que para cualquier número mayor
que la raíz cuadrada de 1.000, su cuadrado será mayor que 1.000 (para
todo número mayor que 1, si X>Y, entonces X2>Y2), y por tanto,
cualquier otra potencia mayor, será también mayor. ¿Cuánto es la raíz
cuadrada de 1.000? Bueno, realmente no importa su valor exacto, pues lo
que buscamos el mayor número primo, cuyo cuadrado sea menor que 1.000. Y
este número es 31, ya que 312=961, mientras que 322=1.024.
Ahora si
use una calculadora creerás ello, pues no, ya que 1.024 es un número
muy significativo para todo el que trabaje con ordenadores, puesto que
es 210, que se puede expresar como, (25)2, es decir 322. la chica era
matemática, no informática, y no tenía por qué venirle a la cabeza eso.
En cualquier caso, 31 es el 11º número primo, por lo que únicamente
habría tenido que realizar 11 multiplicaciones hasta llegar a dicha
conclusión (en realidad, bastantes menos, pues seguro que habría
empezado a probar por un número mayor que 2, y que 7, y que 13). Por
supuesto, estamos partiendo de la base que la chica conocía de antemano
cuáles son al menos los primeros 11 números primos. Pero si no se los
sabía de memoria, en poco tiempo hubiera podido averiguarlo.
Continuemos ¿Qué ocurre si un número no es divisible por ninguno de esos
11? Pues hemos encontrado un primo. ¿Seguro? Sí. Fijate que si el
número no es primo, entonces debe estar formado por el producto de
potencias de uno o más primos. Pero si todos los cuadrados de números
mayores que 31, son mayores que 1.000, la única posibilidad para un
número no primo con un primo mayor que 31 como factor, es que el resto
de factores primos sea menor que 31. Y ya hemos comprobado la división
por esos números. Para muestra un botón. El siguiente primo después de
31 es 37. Como ya sabemos, 372 es mayor que 1.000 (1369). El producto de
37 y 31 también lo es (1147). Tenemos que ir hasta el 23, para ver que
su producto con 37 ya es un número menor que 1.000 (851) y por tanto,
puede aparecer en una habitación. Pero ese número es divisible entre 23
(obviamente), cosa que ya habríamos detectado antes. Es fácil ver que
esto mismo se cumple para el resto de números por encima de 31. Todo
número no primo menor que 1.000, tiene necesariamente algún factor primo
menor o igual que 31. Es decir, si un número menor que 1.000 no es
divisible por ninguno de los 11 primeros primos, entonces es primo.
Bueno, pero ese no era el problema ¿no? La matemática sabía calcular
rápidamente si el número era primo o no. Cierto, pero es importante
tener esto muy claro, para lo que prosigue.
Teníamos que comprobar
si un número es divisible por los 11 primeros primos. Aunque hay
técnicas que no hacen necesarias una división (por ejemplo, en el cole
nos enseñaron que todos los números pares son divisibles por 2, todos
los números acabados en 0 ó 5 son divisibles por 5, y todos los números
cuya suma de dígitos sea un múltiplo de 3, es divisible por 3),
hagámoslas igualmente, comenzando con el 2 como divisor y siguiendo en
orden creciente por esos 11 primos. Quedémonos con el cociente de la
primera división entera que encontremos (con resto cero), es decir, no
sigamos probando con el resto de primos. Repitamos el proceso con dicho
cociente, y así sucesivamente hasta llegar a un número que no sea
divisible por ninguno de los primeros 11 primos. Ese número, será
necesariamente también primo. Y ya habremos factorizado completamente el
número original.
Así que tenemos que para factorizar un número
menor que 1.000, basta con intentar dividirlo de forma sucesiva por los
siguientes números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ó 31. No son
operaciones complicadas, los números involucrados no son demasiado
grandes (dividendos menores que 1.000 y divisores menores que 32) y no
serían demasiadas operaciones. Desde luego, no puede considerarse como
cálculos astronómicos.
.
La película no solo debería parecer
interesante para los amantes de las matemáticas, sino para todo el
público en general, ya que Vincenzo nos ofrece un intenso thriller de
ciencia ficción. Bastante recomendable para los que aman el terror
psicológico y los que buscan apoyarse en otras ciencias para de alguna
manera, ver una película con otra perspectiva.
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